Sciences · Mathématiques
Les vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une longueur (sa norme). Il représente un déplacement, indépendamment de son point de départ.
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Une flèche sur une carte des vents, une force appliquée à un objet, une vitesse, un déplacement sur un écran : toutes ces grandeurs ne se résument pas à un nombre. Il faut savoir dans quelle direction, dans quel sens et de combien. Le vecteur est l’outil mathématique qui réunit ces trois informations. Il est utilisé en géométrie, en physique (forces, vitesses et accélérations) et en informatique graphique.
Égalité de vecteurs et parallélogramme
AB→ = DC→ signifie que la translation qui envoie A sur B envoie aussi D sur C. C’est équivalent à dire que ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). Voir le parallélogramme et la translation.
Le vecteur nul 0→ correspond à un déplacement nul (AA→). Le vecteur opposé à AB→ est BA→ = −AB→ : même direction, même norme, sens contraire.
Coordonnées d’un vecteur
Dans un repère, pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
AB→ (xB − xA ; yB − yA)
Dans un repère orthonormé, la norme vaut ‖u→‖ = √(x² + y²) pour u→(x ; y).
Les opérations
| Opération | En coordonnées | Interprétation |
|---|---|---|
| Somme | u→ + v→ = (x + x′ ; y + y′) | Mettre les déplacements bout à bout |
| Différence | u→ − v→ = (x − x′ ; y − y′) | Ajouter l’opposé |
| Produit par un réel k | k u→ = (kx ; ky) | Même direction, norme multipliée par la valeur absolue de k, sens inversé si k < 0 |
| Produit scalaire (repère orthonormé) | u→ · v→ = xx′ + yy′ | Un nombre, nul si les vecteurs sont orthogonaux |
La relation de Chasles
Pour tous points A, B, C :
AB→ + BC→ = AC→
Aller de A à B puis de B à C revient à aller de A à C. Cette relation, du nom du mathématicien français Michel Chasles (XIXe siècle), sert à décomposer ou simplifier des sommes de vecteurs.
La règle du parallélogramme
Pour additionner deux vecteurs de même origine, AB→ + AD→ = AC→, où C est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. En physique, c’est ainsi qu’on calcule la résultante de deux forces appliquées au même point.
Colinéarité
Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire si l’un est un multiple de l’autre : v→ = k u→. En coordonnées, u→(x ; y) et v→(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si :
x × y′ − y × x′ = 0
Ce nombre s’appelle le déterminant des deux vecteurs.
| Pour montrer que… | On montre que… |
|---|---|
| (AB) et (CD) sont parallèles | AB→ et CD→ sont colinéaires |
| A, B, C sont alignés | AB→ et AC→ sont colinéaires |
| I est le milieu de [AB] | AI→ = IB→ |
Le produit scalaire
Dans un repère orthonormé, u→ · v→ = xx′ + yy′. On a aussi u→ · v→ = ‖u→‖ × ‖v→‖ × cos(θ), où θ est l’angle entre les deux vecteurs. Conséquences :
- si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) ;
- on peut calculer un angle à partir des coordonnées :
cos(θ) = u→ · v→ / (‖u→‖ × ‖v→‖).
En physique, le travail d’une force est le produit scalaire de la force et du déplacement (voir l'énergie).
Vecteurs dans l’espace et au-delà
Dans l’espace, un vecteur a trois coordonnées (x ; y ; z) et sa norme vaut √(x² + y² + z²). En algèbre, la notion se généralise aux espaces vectoriels de dimension quelconque, qui servent par exemple en apprentissage automatique pour représenter des textes ou des images sous forme de listes de nombres. Les matrices décrivent les transformations de ces vecteurs.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un vecteur et un segment ?
Un segment [AB] est une portion de droite, sans sens : [AB] = [BA]. Un vecteur a un sens : AB→ et BA→ sont opposés. De plus, un vecteur n’a pas de position fixe.
Comment calculer les coordonnées d’un vecteur ?
On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité : AB→ (xB − xA ; yB − yA).
Que signifie que deux vecteurs sont colinéaires ?
Qu’ils ont la même direction : l’un est un multiple de l’autre. Leurs droites supports sont parallèles ou confondues.
Une vitesse est-elle un vecteur ?
Oui : elle a une direction, un sens et une valeur. Sa norme est ce qu’affiche le compteur ; le vecteur indique en plus où l’on va.