Sciences · Mathématiques
Translation et rotation
Une translation fait glisser une figure dans une direction, un sens et sur une longueur donnés (un vecteur). Une rotation la fait tourner d’un angle donné autour d’un point fixe.
Mis à jour le 4 min de lecture
Avec les symétries, la translation et la rotation forment la famille des isométries du plan : des transformations qui déplacent les figures sans les déformer. Translation et rotation sont même des déplacements : elles conservent aussi l’orientation, contrairement à la symétrie axiale qui retourne la figure. Elles décrivent le mouvement d’un tapis roulant, d’un ascenseur, d’une grande roue ou des aiguilles d’une montre.
La translation
La translation qui transforme A en B est la « translation de vecteur AB→ ». Pour tout point M, son image M′ est telle que ABM′M est un parallélogramme (éventuellement aplati). C’est la méthode de construction : on trace les parallèles et on reporte les longueurs, ou on suit les carreaux d’un quadrillage.
En coordonnées
Si u→(a ; b), l’image de M(x ; y) est M′(x + a ; y + b).
Propriétés
- L’image d’une droite est une droite parallèle à la première.
- Aucun point n’est fixe (sauf pour le vecteur nul).
- La composée de deux translations est une translation, de vecteur la somme des deux vecteurs :
u→ + v→. Voir les vecteurs. - La réciproque d’une translation de vecteur
u→est la translation de vecteur−u→.
La rotation
Le sens doit être précisé : le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d’une montre ; le sens indirect (horaire) est celui des aiguilles.
Construction
- Tracer le segment [OM].
- Au rapporteur, construire l’angle α à partir de [OM), dans le sens demandé.
- Au compas, reporter la longueur OM sur ce nouveau côté : on obtient M′.
Pour une figure, on construit l’image de chaque sommet, puis on relie.
En coordonnées (centre l’origine)
| Rotation de centre O | Image de M(x ; y) |
|---|---|
| 90° sens direct | (−y ; x) |
| 90° sens indirect | (y ; −x) |
| 180° | (−x ; −y) (symétrie centrale) |
| Angle θ quelconque | (x cos θ − y sin θ ; x sin θ + y cos θ) |
La formule générale utilise la trigonométrie ; on peut aussi l’écrire avec les nombres complexes : multiplier par e^(iθ) fait tourner d’un angle θ autour de l’origine.
Propriétés
- Les distances au centre sont conservées : chaque point se déplace sur un cercle de centre O.
- L’image d’une droite est une droite qui forme un angle α avec la première.
- Une rotation de 180° est une symétrie centrale.
- Une rotation de 360° (ou 0°) laisse tout en place.
- Deux rotations de même centre se composent en une rotation d’angle la somme des angles.
Comparaison des isométries
| Transformation | Élément caractéristique | Points fixes | Orientation |
|---|---|---|---|
| Translation | Un vecteur | Aucun | Conservée |
| Rotation | Un centre et un angle | Le centre | Conservée |
| Symétrie centrale | Un centre | Le centre | Conservée |
| Symétrie axiale | Un axe | Les points de l’axe | Inversée |
Toutes conservent les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme. Pour changer la taille d’une figure, il faut une homothétie.
Symétrie de rotation
Une figure a une symétrie de rotation d’ordre n si une rotation de 360° / n autour de son centre la laisse globalement invariante. Un triangle équilatéral est invariant par rotation de 120° (ordre 3), un carré par rotation de 90° (ordre 4), un hexagone régulier par rotation de 60° (ordre 6). Les rosaces, les moulins à vent et les logos circulaires utilisent ce principe.
Frises et pavages
Une frise répète un motif par translation dans une seule direction ; un pavage le répète dans deux directions. On a démontré qu’il existe exactement 7 types de frises et 17 types de pavages périodiques du plan selon leurs symétries ; on trouve des exemples de nombreux types dans les décors de l’Alhambra de Grenade.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une translation et une rotation ?
La translation fait glisser tous les points du même vecteur, sans tourner ; la rotation fait tourner tous les points autour d’un centre fixe, du même angle.
Une rotation conserve-t-elle les longueurs ?
Oui. La rotation est une isométrie : elle conserve longueurs, angles et aires.
Quel est le sens direct d’une rotation ?
Le sens inverse des aiguilles d’une montre, aussi appelé sens trigonométrique ou antihoraire.
Une symétrie centrale est-elle une rotation ?
Oui : c’est une rotation d’un demi-tour (180°) autour du centre de symétrie.