Sciences · Mathématiques
L’homothétie
Une homothétie de centre O et de rapport k transforme tout point M en M′ tel que OM′→ = k × OM→. Elle agrandit (|k| > 1) ou réduit (|k| < 1) une figure sans la déformer.
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L’homothétie est la transformation de l’agrandissement et de la réduction. C’est ce que fait un projecteur de diapositives, une photocopieuse qui zoome, ou l’ombre d’un objet éclairé par une lampe ponctuelle. Contrairement aux symétries, translations et rotations, elle ne conserve pas les longueurs : elle les multiplie toutes par le même nombre. Elle conserve en revanche les formes et les angles.
Le rôle du rapport k
| Valeur de k | Effet | Position de M′ |
|---|---|---|
| k > 1 | Agrandissement | Sur [OM), au-delà de M |
| 0 < k < 1 | Réduction | Sur [OM], entre O et M |
| k = 1 | Identité (rien ne bouge) | M′ = M |
| −1 < k < 0 | Réduction et retournement | Du côté opposé à M par rapport à O |
| k < −1 | Agrandissement et retournement | Du côté opposé à M par rapport à O |
| k = −1 | Symétrie centrale de centre O | Symétrique de M |
Quand k est négatif, la figure est à la fois agrandie (ou réduite) et tournée d’un demi-tour autour de O.
Construire l’image d’un point
- Tracer la droite (OM).
- Mesurer OM et calculer
|k| × OM. - Placer M′ sur cette droite à cette distance de O : du même côté que M si k > 0, de l’autre côté si k < 0.
En coordonnées
Si le centre est O(0 ; 0), l’image de M(x ; y) est M′(kx ; ky). Avec un centre Ω(a ; b) : M′(a + k(x − a) ; b + k(y − b)).
Les propriétés
| Grandeur | Effet de l’homothétie de rapport k |
|---|---|
| Longueurs | Multipliées par la valeur absolue de k |
| Aires | Multipliées par k² |
| Volumes (dans l’espace) | Multipliés par k³ en valeur absolue |
| Angles | Conservés |
| Alignement, milieux | Conservés |
| Image d’une droite | Une droite parallèle |
| Point fixe | Le centre O (si k ≠ 1) |
C’est pourquoi doubler toutes les dimensions d’une boîte multiplie sa contenance par 8 (2³). Voir les formules d’aires et de volumes.
Homothétie et théorème de Thalès
Si M′ et N′ sont les images de M et N par une homothétie de centre O, alors (MN) et (M′N′) sont parallèles et M′N′ = |k| × MN. On reconnaît la configuration du théorème de Thalès : triangles emboîtés si k > 0, configuration papillon si k < 0. Le rapport de Thalès est la valeur absolue du rapport d’homothétie.
Homothétie et proportionnalité
Toutes les longueurs d’une figure et de son image sont proportionnelles, de coefficient |k|. L'échelle d’un plan ou d’une carte est un rapport d’homothétie : à l’échelle 1/25 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m.
Figures semblables
Deux figures sont semblables si l’une est l’image de l’autre par la composée d’une homothétie et d’une isométrie (symétrie, rotation, translation). Elles ont la même forme et des angles égaux, mais pas forcément la même taille ni la même position. Tous les cercles sont semblables, tous les carrés aussi, tous les triangles équilatéraux. Voir aussi translation et rotation.
Applications
- Optique : une lentille ou un sténopé forme une image renversée, obtenue par une homothétie de rapport négatif (voir les lentilles optiques).
- Photographie et impression : zoom, agrandissement de photos, mise à l’échelle d’images vectorielles.
- Dessin technique et cartographie : plans et maquettes à l’échelle.
- Fractales : certaines figures sont composées de copies réduites d’elles-mêmes par homothétie (voir les fractales).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre homothétie et agrandissement ?
L’agrandissement est l’effet ; l’homothétie est la transformation précise, avec un centre fixé. Une homothétie de rapport compris entre −1 et 1 (hors 0) est une réduction.
Que se passe-t-il si le rapport est négatif ?
L’image est de l’autre côté du centre : la figure est agrandie ou réduite de |k| et retournée d’un demi-tour.
Pourquoi l’aire est-elle multipliée par k² ?
Parce qu’une aire est le produit de deux longueurs, chacune multipliée par k. Un carré de côté a devient un carré de côté ka, d’aire k²a².
Une homothétie conserve-t-elle les angles ?
Oui : l’image d’un triangle est un triangle de mêmes angles, de côtés proportionnels.