Archimède

Mathématicien, physicien, astronome et ingénieur, Archimède a anticipé de près de deux mille ans certaines idées du calcul intégral. Il est aussi le héros d’anecdotes célèbres, l'« Eurêka ! » dans son bain ou le point d’appui pour soulever le monde, qui ne doivent pas faire oublier la rigueur et l’ampleur de son œuvre.

Une vie à Syracuse

Archimède naît vers 287 av. J.-C. à Syracuse, cité grecque de Sicile. Son père, Phidias, serait un astronome. Il séjourne probablement à Alexandrie, alors capitale scientifique du monde grec, où il noue des liens avec des savants comme Ératosthène et Conon de Samos, avec qui il correspondra toute sa vie. Il passe l’essentiel de son existence à Syracuse, proche du roi Hiéron II.

Il meurt en 212 av. J.-C. lors de la prise de la ville par les Romains, pendant la deuxième guerre punique (voir République romaine). Selon Plutarque, un soldat romain le tua alors qu’il était absorbé par un problème de géométrie, malgré l’ordre du général Marcellus de l’épargner. La phrase « Ne dérange pas mes cercles » qui lui est prêtée est une tradition tardive.

Les mathématiques

Le calcul de π

Dans De la mesure du cercle, Archimède encadre le rapport de la circonférence au diamètre en calculant les périmètres de polygones réguliers à 96 côtés, inscrits et circonscrits au cercle :

3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, soit 3,140 8 < π < 3,142 9

C’est la première méthode qui permet, en principe, d’approcher π avec une précision arbitraire. La valeur 22/7 lui doit sa popularité (voir nombre pi).

La sphère et le cylindre

Son résultat préféré, exposé dans De la sphère et du cylindre : une sphère inscrite dans un cylindre a un volume égal aux deux tiers de celui du cylindre, et une surface égale aux deux tiers de la surface totale du cylindre. On en déduit les formules :

• aire de la sphère : 4 π r² (quatre fois l’aire d’un grand cercle) ;
• volume de la boule : (4/3) π r³.

Il avait demandé que cette figure soit gravée sur son tombeau. Cicéron, questeur en Sicile en 75 av. J.-C., raconte avoir retrouvé ce tombeau envahi par les ronces, reconnaissable à la sphère et au cylindre (voir formules d’aires et volumes).

La quadrature de la parabole

Il démontre que l’aire d’un segment de parabole vaut les 4/3 de celle du triangle inscrit de même base et même sommet. Pour cela, il découpe la surface en une infinité de triangles de plus en plus petits et somme une série géométrique (1 + 1/4 + 1/16 + … = 4/3). Cette méthode d’exhaustion, raisonnement rigoureux sur des approximations successives, préfigure le calcul des intégrales.

Les grands nombres

Dans L’Arénaire, il entreprend de calculer le nombre de grains de sable nécessaires pour remplir l’Univers, tel qu’on se le représentait. Pour cela, il invente un système d’écriture des très grands nombres, fondé sur des puissances de la myriade (10 000), et aboutit à environ 10⁶³ grains. Il y mentionne au passage le système héliocentrique d’Aristarque de Samos.

Autres travaux

Il étudie la spirale qui porte son nom (la distance au centre augmente proportionnellement à l’angle), les volumes de solides de révolution (conoïdes, sphéroïdes) et les solides archimédiens, polyèdres semi-réguliers comme le ballon de football tronqué.

La physique

La poussée des fluides

Dans le traité Des corps flottants, il énonce le principe qui porte son nom : un corps plongé dans un fluide subit une poussée vers le haut égale au poids du fluide déplacé. Il en tire une étude rigoureuse de la stabilité des corps flottants (voir poussée d’Archimède).

L’anecdote de la couronne de Hiéron, soupçonnée d’être alliée d’argent, et du cri « Eurêka ! » (« J’ai trouvé ! ») poussé en sortant du bain, est racontée par l’architecte romain Vitruve deux siècles plus tard. Elle est probablement embellie, mais la méthode qu’elle décrit, comparer les volumes d’eau déplacés, est correcte.

Le levier et les centres de gravité

Dans De l’équilibre des plans, il démontre la loi du levier : deux poids s’équilibrent quand leurs distances au point d’appui sont inversement proportionnelles à leurs poids. Il calcule aussi le centre de gravité de nombreuses figures. La phrase « Donnez-moi un point d’appui, et je soulèverai le monde » lui est attribuée par des auteurs anciens, notamment Pappus d’Alexandrie, sous diverses formes.

Les inventions

• La vis d’Archimède, un tube hélicoïdal qui fait monter l’eau quand on le tourne, encore utilisée pour l’irrigation et dans certaines stations d’épuration. Son attribution à Archimède est traditionnelle ; des dispositifs semblables existaient peut-être avant lui.
• Des systèmes de poulies (moufles) : selon Plutarque, il aurait déplacé seul un navire chargé en tirant sur une corde.
• Des machines de guerre pour défendre Syracuse lors du siège romain (214-212 av. J.-C.) : catapultes de portées variées et une « main de fer », grue munie d’un grappin qui soulevait et renversait les navires ennemis.
• Les miroirs ardents qui auraient incendié la flotte romaine en concentrant les rayons du soleil ne sont mentionnés que par des auteurs bien plus tardifs ; leur efficacité réelle est très douteuse.
• Un planétarium mécanique reproduisant les mouvements du Soleil, de la Lune et des planètes, décrit par Cicéron.

Le palimpseste d’Archimède

Une grande partie de l’œuvre d’Archimède nous est parvenue grâce à des copies byzantines. En 1906, le philologue danois Johan Ludvig Heiberg identifie à Constantinople un palimpseste : un livre de prières du XIIIe siècle écrit sur un parchemin gratté qui contenait des traités d’Archimède copiés au Xe siècle. On y découvre notamment la Méthode, seul texte où Archimède explique comment il trouvait ses résultats, en découpant les figures en tranches infiniment fines et en les « pesant » sur un levier imaginaire, avant de les démontrer rigoureusement. Restauré et étudié par imagerie multispectrale à partir de 1999, le manuscrit a révélé d’autres passages inconnus.

Son héritage

• Galilée, Kepler, Newton et Leibniz ont étudié ses œuvres et se sont réclamés de lui.
• La médaille Fields, plus haute distinction en mathématiques, porte son effigie (voir grands mathématiciens).
• Un cratère de la Lune et un astéroïde portent son nom.

Questions fréquentes

Qu’a découvert Archimède ?

Le principe de la poussée des fluides, la loi du levier, un encadrement de π, les formules de l’aire et du volume de la sphère, l’aire du segment de parabole et des méthodes qui annoncent le calcul intégral.

Que veut dire « Eurêka » ?

« J’ai trouvé » en grec. Selon Vitruve, Archimède l’aurait crié en découvrant dans son bain comment vérifier la composition de la couronne du roi Hiéron.

Comment Archimède est-il mort ?

Tué par un soldat romain lors de la prise de Syracuse, en 212 av. J.-C., pendant la deuxième guerre punique, selon le récit de Plutarque.

Quelle valeur de π Archimède a-t-il trouvée ?

Il a montré que π est compris entre 3 + 10/71 (environ 3,1408) et 3 + 1/7 (environ 3,1429), à l’aide de polygones à 96 côtés.