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Le cylindre
Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h vaut π × r² × h (aire de la base × hauteur). Son aire latérale vaut 2 × π × r × h et son aire totale 2πr(r + h).
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Canettes, conserves, tuyaux, cuves, piles, colonnes, bougies : le cylindre est la forme industrielle par excellence, facile à fabriquer en roulant une plaque et à empiler. Ses formules découlent directement de celles du cercle et du disque : un cylindre est un disque « étiré » sur une hauteur.
Les formules
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Aire d’une base | π × r² |
| Volume | V = π × r² × h |
| Aire latérale | A_lat = 2 × π × r × h |
| Aire totale | A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h) |
| Rayon à partir du volume | r = √(V / (π × h)) |
| Hauteur à partir du volume | h = V / (π × r²) |
Le volume suit la règle de tous les prismes et cylindres droits : aire de la base × hauteur.
Le patron
Le patron d’un cylindre est formé de :
- deux disques de rayon r (les bases) ;
- un rectangle de hauteur h et de longueur
2πr, égale au périmètre des bases.
C’est la justification de l’aire latérale : en déroulant l’étiquette d’une boîte de conserve, on obtient un rectangle de côtés h et 2πr.
Exemples corrigés
Le cylindre optimal
Pour un volume donné, quelle forme de cylindre demande le moins de matière ? Le calcul (par les dérivées) montre que l’aire totale est minimale quand la hauteur est égale au diamètre : h = 2r. Pour 1 L, cela donne r ≈ 5,42 cm et h ≈ 10,84 cm, pour une surface d’environ 554 cm². Les canettes réelles sont plus hautes que ce cylindre idéal, pour des raisons de prise en main, de résistance à la pression et de fabrication.
Cylindre, cône et boule
Trois solides de même rayon r et de même hauteur h = 2r ont des volumes dans le rapport 1 : 2 : 3 :
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cône | 2/3 × π × r³ |
| Boule | 4/3 × π × r³ |
| Cylindre | 2 × π × r³ |
Le cône vaut le tiers du cylindre (voir cône et pyramide) et la boule les deux tiers, comme l’avait démontré Archimède (voir la sphère et la boule).
Sections d’un cylindre
- Plan perpendiculaire à l’axe : un disque identique aux bases.
- Plan parallèle à l’axe : un rectangle.
- Plan oblique coupant la surface latérale seulement : une ellipse.
Conversions utiles
Les volumes en cm³ et m³ se convertissent en litres : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ et 1 m³ = 1 000 L. Penser à exprimer le rayon et la hauteur dans la même unité avant de calculer. Voir la conversion des unités d’aire et de volume.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’un cylindre ?
On calcule l’aire du disque de base (π × r²) et on la multiplie par la hauteur. Pour r = 2 cm et h = 10 cm : π × 4 × 10 ≈ 125,7 cm³.
Comment calculer le volume d’un cylindre avec le diamètre ?
On divise le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, ou on utilise V = π × d² × h / 4.
Quelle est la différence entre aire latérale et aire totale ?
L’aire latérale ne compte que la surface courbe (2πrh) ; l’aire totale y ajoute les deux disques de base (2πr²).
Un cylindre est-il un prisme ?
Pas au sens strict, car sa base n’est pas un polygone. Mais il se comporte comme un prisme pour le calcul du volume : c’est la limite d’un prisme dont la base aurait une infinité de côtés.