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Les solides de Platon
Les solides de Platon sont les cinq polyèdres convexes réguliers : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. Leurs faces sont des polygones réguliers identiques.
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Dans le plan, il existe une infinité de polygones réguliers. Dans l’espace, il n’existe que cinq polyèdres convexes réguliers. Ce résultat, connu depuis l’Antiquité grecque et démontré dans le dernier livre des Éléments d'Euclide, fascine depuis plus de deux millénaires. Les dés de jeux de rôle à 4, 6, 8, 12 et 20 faces en sont la version la plus familière.
Les cinq solides
| Solide | Faces | Forme des faces | Faces par sommet | Arêtes | Sommets | Dual |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | Triangles équilatéraux | 3 | 6 | 4 | Tétraèdre |
| Cube (hexaèdre) | 6 | Carrés | 3 | 12 | 8 | Octaèdre |
| Octaèdre | 8 | Triangles équilatéraux | 4 | 12 | 6 | Cube |
| Dodécaèdre | 12 | Pentagones réguliers | 3 | 30 | 20 | Icosaèdre |
| Icosaèdre | 20 | Triangles équilatéraux | 5 | 30 | 12 | Dodécaèdre |
Tous vérifient la relation d’Euler S − A + F = 2 (voir les solides géométriques) : pour l’icosaèdre, 12 − 30 + 20 = 2.
Pourquoi seulement cinq ?
L’argument tient en quelques lignes. En un sommet, au moins trois faces doivent se rejoindre, et la somme de leurs angles doit être strictement inférieure à 360° (sinon les faces seraient à plat et ne formeraient pas de pointe).
| Faces | Angle d’une face | Faces possibles par sommet | Somme | Solide |
|---|---|---|---|---|
| Triangle | 60° | 3 | 180° | Tétraèdre |
| Triangle | 60° | 4 | 240° | Octaèdre |
| Triangle | 60° | 5 | 300° | Icosaèdre |
| Triangle | 60° | 6 | 360° | Impossible (plat) |
| Carré | 90° | 3 | 270° | Cube |
| Carré | 90° | 4 | 360° | Impossible |
| Pentagone | 108° | 3 | 324° | Dodécaèdre |
| Hexagone | 120° | 3 | 360° | Impossible |
Au-delà du pentagone, trois faces dépassent déjà 360°. Il ne reste que cinq combinaisons, et chacune correspond bien à un solide. Les angles des polygones réguliers suffisent donc à conclure.
La dualité
En plaçant un point au centre de chaque face d’un polyèdre et en reliant les centres des faces voisines, on obtient son dual. Les faces et les sommets échangent leurs nombres, les arêtes restent en même nombre :
- le cube (6 faces, 8 sommets) et l’octaèdre (8 faces, 6 sommets) sont duaux ;
- le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets) et l’icosaèdre (20 faces, 12 sommets) sont duaux ;
- le tétraèdre est son propre dual.
Formules pour une arête a
| Solide | Volume | Aire totale |
|---|---|---|
| Tétraèdre | a³√2 / 12 ≈ 0,118 a³ | a²√3 ≈ 1,732 a² |
| Cube | a³ | 6a² |
| Octaèdre | a³√2 / 3 ≈ 0,471 a³ | 2a²√3 ≈ 3,464 a² |
| Dodécaèdre | ≈ 7,663 a³ | ≈ 20,646 a² |
| Icosaèdre | ≈ 2,182 a³ | 5a²√3 ≈ 8,660 a² |
Le dodécaèdre et l’icosaèdre font intervenir le nombre d’or : les douze sommets d’un icosaèdre peuvent être placés aux coins de trois rectangles d’or perpendiculaires.
Histoire et symbolique
Les pythagoriciens connaissaient au moins le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. Théétète d’Athènes (IVe siècle av. J.-C.) est crédité de l’étude de l’octaèdre et de l’icosaèdre et, selon la tradition, de la preuve qu’il n’y en a que cinq.
Dans le Timée, Platon associe chaque solide à un élément : le tétraèdre au feu, l’octaèdre à l’air, l’icosaèdre à l’eau, le cube à la terre ; le dodécaèdre est rattaché au cosmos tout entier. D’où le nom de « solides de Platon ».
En 1596, Johannes Kepler tenta, dans le Mysterium Cosmographicum, d’expliquer les distances entre les six planètes alors connues en emboîtant les cinq solides entre leurs sphères. Le modèle était faux, mais ses recherches le conduisirent plus tard à ses lois du mouvement planétaire.
Dans la nature et la technique
- Certains cristaux prennent des formes régulières : cubes de sel (chlorure de sodium), octaèdres de fluorine ou de diamant naturel.
- La capside de nombreux virus a une symétrie icosaédrique (voir virus et bactéries).
- La molécule de méthane CH₄ a une géométrie tétraédrique.
- Les dômes géodésiques et le ballon de football classique (icosaèdre tronqué, 12 pentagones et 20 hexagones) dérivent de l’icosaèdre.
Questions fréquentes
Pourquoi n’y a-t-il que cinq solides de Platon ?
Parce qu’au moins trois faces régulières doivent se rencontrer en chaque sommet avec une somme d’angles inférieure à 360°. Seules cinq combinaisons de triangles, carrés et pentagones le permettent.
Le ballon de football est-il un solide de Platon ?
Non. C’est un icosaèdre tronqué, un solide d’Archimède : ses faces sont régulières, mais de deux types (pentagones et hexagones).
Quel solide de Platon a le plus de faces ?
L’icosaèdre, avec 20 faces triangulaires. Le dodécaèdre a le plus de sommets (20).
Qu’est-ce qu’un solide d’Archimède ?
Un polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers d’au moins deux types, avec la même disposition à chaque sommet. Il en existe 13.