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Agrandissement et réduction
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Les angles sont conservés.
Mis à jour le 4 min de lecture
Agrandissements et réductions sont au programme de 3e. Ils expliquent pourquoi une pizza de 40 cm contient bien plus que deux pizzas de 20 cm, ou pourquoi une maquette au 1/10 pèse mille fois moins que l’original. La transformation géométrique correspondante est l'homothétie ; la situation de la figure réduite dans un triangle est celle du théorème de Thalès.
La règle k, k², k³
| Grandeur | Effet | k = 2 | k = 3 | k = 0,5 |
|---|---|---|---|---|
| Longueurs, périmètres | × k | × 2 | × 3 | × 0,5 |
| Aires | × k² | × 4 | × 9 | × 0,25 |
| Volumes | × k³ | × 8 | × 27 | × 0,125 |
| Angles | inchangés | — | — | — |
Pourquoi k² ? Une aire est un produit de deux longueurs (longueur × largeur), chacune multipliée par k. Un volume en fait intervenir trois.
Trouver le rapport k
k = longueur de la nouvelle figure ÷ longueur correspondante de la figure initiale
Exemple : un triangle de côtés 3, 4, 5 cm devient un triangle de côtés 7,5 ; 10 ; 12,5 cm. k = 7,5 ÷ 3 = 2,5, c’est un agrandissement. On vérifie avec un autre côté : 10 ÷ 4 = 2,5.
Méthode pas à pas
- Identifier deux longueurs correspondantes et calculer k.
- Décider : k > 1 agrandissement, k < 1 réduction, k = 1 figure de même taille.
- Appliquer la puissance adaptée : k pour une longueur, k² pour une aire, k³ pour un volume.
- Pour revenir en arrière, utiliser
1/k.
Exemples chiffrés
- Un rectangle de 6 cm × 4 cm (aire 24 cm²) agrandi de rapport 3 : 18 cm × 12 cm, aire
24 × 9 = 216 cm². - Une pyramide de volume 270 cm³ réduite de rapport 1/3 : volume
270 × 1/27 = 10 cm³. - Pizzas : une pizza de 40 cm de diamètre est un agrandissement de rapport 2 d’une pizza de 20 cm. Son aire est 4 fois plus grande, donc équivalente à 4 petites pizzas.
La section d’une pyramide ou d’un cône
Couper une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base donne une petite pyramide qui est une réduction de la grande. Si la section est à mi-hauteur depuis le sommet, k = 1/2, et le petit volume vaut 1/8 du grand. Voir cône et pyramide.
Échelles et maquettes
Une échelle est un rapport d’agrandissement ou de réduction. Une maquette au 1/20 d’une voiture a des surfaces 400 fois plus petites et un volume 8 000 fois plus petit. C’est pourquoi on ne peut pas déduire la masse d’un objet réel en multipliant celle de sa maquette par 20.
Retrouver k à partir d’une aire ou d’un volume
Si l’aire est multipliée par 16, alors k² = 16 et k = 4. Si le volume est divisé par 8, alors k³ = 1/8 et k = 1/2. On utilise la racine carrée ou la racine cubique.
Erreurs fréquentes
- Multiplier l’aire par k au lieu de k².
- Confondre agrandissement et ajout : agrandir de rapport 2 ne revient pas à ajouter 2 cm à chaque côté.
- Prendre k à l’envers : nouvelle longueur ÷ ancienne, et non l’inverse.
- Croire que les angles sont multipliés : un angle droit reste droit.
Exercice corrigé
- Un carré de côté 5 cm est agrandi de rapport 1,4. Côté : 7 cm ; aire :
25 × 1,96 =49 cm². - Un cube de volume 64 cm³ est réduit de rapport 0,25. Volume :
64 × 0,015625 =1 cm³. - Une photo de 10 cm × 15 cm est agrandie en 30 cm × 45 cm.
k = 3, l’aire est multipliée par 9. - Une figure d’aire 50 cm² devient une figure d’aire 2 cm².
k² = 2/50 = 1/25, donck =1/5.
Questions fréquentes
Comment calculer l’aire après un agrandissement ?
On multiplie l’aire initiale par le carré du rapport : avec k = 3, l’aire est multipliée par 9.
Quelle est la différence entre agrandissement et homothétie ?
L’agrandissement ne s’intéresse qu’aux dimensions de la figure. L'homothétie précise en plus la position de la figure image par rapport à un centre ; elle produit des agrandissements ou réductions, éventuellement retournés si son rapport est négatif.
Pourquoi le volume est-il multiplié par k³ ?
Parce qu’il dépend de trois dimensions (longueur, largeur, hauteur), chacune multipliée par k : k × k × k = k³.
Une réduction a-t-elle un rapport négatif ?
Non. Le rapport d’un agrandissement ou d’une réduction est toujours positif ; une réduction a un rapport compris entre 0 et 1.