Sciences · Mathématiques
Symétrie axiale et symétrie centrale
La symétrie axiale est un pliage le long d’une droite ; la symétrie centrale est un demi-tour autour d’un point. Les deux conservent longueurs, angles, aires et alignements.
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La symétrie est la première transformation géométrique étudiée à l’école. On la reconnaît intuitivement dans un papillon, un visage, une lettre A ou un flocon de neige. En mathématiques, on distingue deux symétries planes : la symétrie axiale (ou orthogonale), par rapport à une droite, et la symétrie centrale, par rapport à un point. Ce sont des isométries : elles conservent les distances.
La symétrie axiale
Concrètement, M′ s’obtient en pliant la feuille le long de (d) : M et M′ se superposent. Le segment [MM′] est perpendiculaire à (d) et coupé en son milieu par (d).
Construction à l’équerre : tracer la perpendiculaire à (d) passant par M ; elle coupe (d) en H ; reporter la distance MH de l’autre côté pour placer M′.
Construction au compas : prendre deux points A et B de (d) ; tracer un arc de centre A de rayon AM et un arc de centre B de rayon BM ; ils se recoupent en M′.
La symétrie centrale
Elle équivaut à une rotation de 180° (un demi-tour) autour de O.
Construction : tracer la demi-droite [MO), puis reporter au compas la longueur OM de l’autre côté de O.
Propriétés communes
| Propriété | Symétrie axiale | Symétrie centrale |
|---|---|---|
| Longueurs | Conservées | Conservées |
| Angles | Conservés | Conservés |
| Aires | Conservées | Conservées |
| Alignement, milieux | Conservés | Conservés |
| Parallélisme | Conservé | Conservé |
| Image d’une droite | Une droite | Une droite parallèle |
| Orientation | Inversée (effet miroir) | Conservée |
| Points invariants | Tous les points de l’axe | Le centre seul |
| Image d’un cercle | Cercle de même rayon | Cercle de même rayon |
Une différence essentielle : la symétrie axiale inverse le sens de rotation (une main droite devient une main gauche), la symétrie centrale non. Une figure et son image par une symétrie centrale sont superposables sans retournement.
Axes et centres de symétrie d’une figure
Une figure a un axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie axiale correspondante ; un centre de symétrie si elle est sa propre image par une symétrie centrale.
| Figure | Axes de symétrie | Centre de symétrie |
|---|---|---|
| Triangle isocèle | 1 | Non |
| Triangle équilatéral | 3 | Non |
| Parallélogramme | 0 | Oui |
| Rectangle | 2 | Oui |
| Losange | 2 | Oui |
| Carré | 4 | Oui |
| Trapèze isocèle | 1 | Non |
| Polygone régulier à n côtés | n | Oui si n est pair |
| Cercle | Une infinité (tous les diamètres) | Oui (le centre) |
| Segment | 2 (sa médiatrice et sa droite support) | Oui (son milieu) |
Voir carré, rectangle et losange et les polygones réguliers. Parmi les lettres capitales, A, M, T, U, V, W, Y ont un axe vertical ; B, C, D, E, K un axe horizontal ; H, I, O, X en ont deux ; N, S, Z ont un centre de symétrie.
Composer des symétries
- Deux symétries axiales d’axes parallèles donnent une translation (de vecteur double de l’écart entre les axes).
- Deux symétries axiales d’axes sécants en O donnent une rotation de centre O (d’angle double de l’angle entre les axes).
- Deux symétries centrales donnent une translation.
Symétrie dans la nature et les arts
La symétrie bilatérale (un axe) caractérise la plupart des animaux, dont l’être humain. Les fleurs et les étoiles de mer présentent souvent une symétrie de rotation. En architecture et en art, la symétrie traduit l’équilibre ; en physique, les symétries d’un système sont liées à ses lois de conservation (théorème d’Emmy Noether, 1918).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre symétrie axiale et centrale ?
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (pliage, effet miroir) ; la symétrie centrale par rapport à un point (demi-tour). La première inverse l’orientation, la seconde la conserve.
Le symétrique d’un segment est-il de même longueur ?
Oui. Toute symétrie conserve les longueurs : l’image d’un segment est un segment de même longueur.
Combien d’axes de symétrie a un cercle ?
Une infinité : toute droite passant par son centre est un axe de symétrie.
Un parallélogramme a-t-il un axe de symétrie ?
Un parallélogramme quelconque n’en a pas ; il a seulement un centre de symétrie, l’intersection de ses diagonales.