Sciences · Mathématiques
Le calcul littéral
Le calcul littéral consiste à calculer avec des lettres qui représentent des nombres : écrire une expression, la réduire en regroupant les termes semblables, remplacer une lettre par une valeur, démontrer.
Mis à jour le 4 min de lecture
Écrire « le périmètre d’un rectangle vaut 2 × (L + l) » résume en une formule une infinité de calculs. Les lettres permettent d’exprimer des règles générales, de résoudre des problèmes dont on ne connaît pas encore la réponse et de démontrer des propriétés vraies pour tous les nombres. L’usage systématique des lettres en algèbre remonte à François Viète, à la fin du XVIe siècle (voir résoudre une équation).
Les conventions d’écriture
| Écriture complète | Écriture simplifiée | Règle |
|---|---|---|
3 × x | 3x | On supprime le × devant une lettre |
a × b | ab | Entre deux lettres |
4 × (x + 1) | 4(x + 1) | Devant une parenthèse |
x × x | x² | Carré |
x × x × x | x³ | Cube |
1 × x | x | Le coefficient 1 ne s’écrit pas |
−1 × x | −x | — |
x × 5 | 5x | Le nombre s’écrit en premier |
On ne supprime jamais le signe × entre deux nombres : 3 × 5 ne s’écrit pas 35.
Distinguer 2x, x² et x + x
| Expression | Signification | Pour x = 5 |
|---|---|---|
2x | x + x | 10 |
x² | x × x | 25 |
2 + x | Somme | 7 |
(2x)² | 4x² | 100 |
2x et x² ne sont égaux que pour x = 0 et x = 2. C’est la confusion la plus fréquente du collège.
Substituer : calculer la valeur d’une expression
On remplace chaque lettre par sa valeur, en rétablissant les signes × et en respectant les priorités opératoires.
Réduire une expression
Réduire, c’est regrouper les termes semblables en additionnant leurs coefficients.
On ne peut pas réduire des termes non semblables : 3x + 5 et 2x² + x sont déjà réduits. On ordonne en général par puissances décroissantes : 2x² + x − 4.
Multiplier des monômes
On multiplie les coefficients entre eux et les lettres entre elles : 3x × 4x = 12x², 2a × 5b = 10ab, (−2x²) × 3x = −6x³.
Pour supprimer des parenthèses et développer, voir développer et factoriser.
Tester une égalité
Une égalité littérale peut être vraie pour certaines valeurs seulement (c’est une équation) ou pour toutes les valeurs (c’est une identité, comme les identités remarquables).
- Pour montrer qu’une égalité est fausse en général, un seul contre-exemple suffit :
(a + b)² = a² + b²est fausse, car pour a = b = 1, on obtient 4 d’un côté et 2 de l’autre. - Pour montrer qu’elle est toujours vraie, des exemples ne suffisent pas : il faut un calcul littéral.
Démontrer avec des lettres
C’est la grande force du calcul littéral : prouver une propriété pour tous les nombres à la fois.
Traduire un énoncé
| Énoncé | Expression |
|---|---|
| Le double de x | 2x |
| Le carré de x | x² |
| La moitié de x augmentée de 3 | x/2 + 3 |
| La moitié de la somme de x et 3 | (x + 3)/2 |
| Le triple du carré de x | 3x² |
| Le carré du triple de x | (3x)² = 9x² |
| x diminué de 20 % | 0,8x |
Erreurs fréquentes
- Réduire des termes non semblables :
3x + 2 ≠ 5x,x + x² ≠ x³. - Confondre 2x et x².
- Oublier les parenthèses en substituant un nombre négatif.
- Croire qu’un exemple prouve une égalité : il ne prouve rien en général, seul un contre-exemple est concluant.
- Mal traduire « le carré de la somme » (
(a + b)²) et « la somme des carrés » (a² + b²).
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une expression littérale ?
Une expression mathématique contenant des lettres qui représentent des nombres, comme 2x + 7 ou L × l.
Comment réduire une expression littérale ?
On regroupe les termes semblables (même lettre avec la même puissance) en additionnant leurs coefficients, puis on ordonne le résultat.
Pourquoi utilise-t-on des lettres en mathématiques ?
Pour exprimer des règles générales, résoudre des problèmes avec une inconnue et démontrer des propriétés valables pour tous les nombres.
Quelle est la différence entre une équation et une identité ?
Une équation n’est vraie que pour certaines valeurs (ses solutions) ; une identité est vraie pour toutes les valeurs, comme 2(x + 1) = 2x + 2.