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L’équation de la tangente
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Son coefficient directeur est le nombre dérivé f′(a), et elle passe par le point (a ; f(a)).
Mis à jour le 4 min de lecture
La tangente est la droite qui « épouse » le mieux une courbe en un point : en zoomant fortement sur une courbe régulière, celle-ci finit par se confondre avec sa tangente. C’est l’interprétation géométrique du nombre dérivé, et le principe des approximations utilisées en physique, en ingénierie et dans les calculatrices (voir les dérivées).
D’où vient la formule ?
Une droite de pente m passant par A(a ; f(a)) a pour équation y − f(a) = m(x − a). Avec m = f′(a), on obtient la formule. C’est une fonction affine de x.
Le nombre dérivé est lui-même la limite des pentes des sécantes (AM) quand le point M se rapproche de A sur la courbe : f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h quand h → 0.
La méthode en trois étapes
- Calculer f(a) : l’ordonnée du point de contact.
- Calculer f′(x) puis f′(a) : la pente.
- Remplacer dans
y = f′(a)(x − a) + f(a), puis développer pour obtenir la formey = mx + p.
Exemples corrigés
Les cas particuliers
La tangente horizontale
Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale : y = f(a). Cela se produit aux maximums et minimums locaux, mais aussi parfois sans extremum (fonction cube en 0, voir la fonction cube).
La tangente verticale
Si le taux d’accroissement tend vers l’infini, f n’est pas dérivable mais la courbe a une tangente verticale. C’est le cas de √x en 0.
Pas de tangente
La valeur absolue en 0 forme un angle : pente −1 à gauche, +1 à droite. Il n’y a pas de tangente (voir la valeur absolue).
Trouver le point de contact connaissant la pente
L’approximation affine
Près de a, la courbe et la tangente sont très proches : f(a + h) ≈ f(a) + f′(a) × h pour h petit.
| Approximation (h proche de 0) | Origine |
|---|---|
(1 + h)² ≈ 1 + 2h | Tangente de x² en 1 |
√(1 + h) ≈ 1 + h/2 | Tangente de √x en 1 |
1/(1 + h) ≈ 1 − h | Tangente de 1/x en 1 |
eʰ ≈ 1 + h | Tangente de exp en 0 |
sin h ≈ h (h en radians) | Tangente de sin en 0 |
L’approximation sin h ≈ h est utilisée en physique pour le pendule simple aux petites oscillations. La méthode de Newton, qui calcule des racines par tangentes successives, repose sur le même principe.
La position de la courbe par rapport à sa tangente dépend de la convexité : au-dessus pour une fonction convexe, en dessous pour une concave.
Erreurs fréquentes
- Utiliser f′(x) au lieu de f′(a) : la pente est un nombre, pas une expression en x.
- Oublier le terme f(a).
- Écrire
(x + a)au lieu de(x − a): en a = −1, on obtient(x + 1). - Confondre l’équation de la tangente et la dérivée.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’équation de la tangente ?
y = f′(a)(x − a) + f(a), où a est l’abscisse du point de contact.
Comment trouver le coefficient directeur de la tangente ?
C’est le nombre dérivé f′(a) : on dérive f puis on remplace x par a.
Quand la tangente est-elle horizontale ?
Quand f′(a) = 0. L’équation est alors y = f(a).
Une tangente peut-elle couper la courbe ?
Oui. La tangente à x³ en 1, y = 3x − 2, recoupe la courbe en x = −2. Et en un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.