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Les quadrilatères
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés dont les angles totalisent 360°. On distingue le trapèze, le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré et le cerf-volant.
Mis à jour le 3 min de lecture
Les quadrilatères sont les figures les plus présentes dans notre environnement : pièces, feuilles, écrans, carrelages, parcelles. Leur classification repose sur trois critères : le parallélisme des côtés, l'égalité des longueurs et la présence d'angles droits. Les familles s’emboîtent : un carré est à la fois un rectangle et un losange, et tous sont des parallélogrammes.
La classification
| Quadrilatère | Définition | Diagonales | Axes de symétrie |
|---|---|---|---|
| Quelconque | 4 côtés | Quelconques | 0 |
| Trapèze | 2 côtés parallèles | Quelconques | 0 (1 si isocèle) |
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles 2 à 2 | Se coupent en leur milieu | 0 |
| Rectangle | 4 angles droits | Même milieu, même longueur | 2 |
| Losange | 4 côtés égaux | Même milieu, perpendiculaires | 2 |
| Carré | 4 côtés égaux et 4 angles droits | Même milieu, même longueur, perpendiculaires | 4 |
| Cerf-volant | 2 paires de côtés consécutifs égaux | Perpendiculaires, l’une est médiatrice de l’autre | 1 |
L’emboîtement se lit ainsi : carré ⊂ rectangle ⊂ parallélogramme ⊂ trapèze, et carré ⊂ losange ⊂ parallélogramme. Le carré est le seul à être à la fois rectangle et losange. Le losange est aussi un cerf-volant particulier.
Les formules d’aire
| Figure | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| Carré de côté a | a² | 4a |
| Rectangle L × l | L × l | 2(L + l) |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | b × h | 2(a + b) |
| Losange (diagonales D, d) | D × d / 2 | 4a |
| Trapèze (bases B, b, hauteur h) | (B + b) × h / 2 | somme des côtés |
| Cerf-volant (diagonales D, d) | D × d / 2 | 2(a + b) |
Le détail de chaque figure est développé dans les fiches carré, rectangle et losange, parallélogramme et trapèze. Toutes les formules de la géométrie plane et dans l’espace sont réunies dans les formules d’aires et de volumes.
Reconnaître un quadrilatère
Une méthode de démonstration suit l’arbre de classification :
- Montrer que c’est un parallélogramme : côtés opposés parallèles, ou côtés opposés de même longueur, ou diagonales de même milieu, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
- Si le parallélogramme a un angle droit, ou des diagonales de même longueur : c’est un rectangle.
- S’il a deux côtés consécutifs égaux, ou des diagonales perpendiculaires : c’est un losange.
- S’il est à la fois rectangle et losange : c’est un carré.
Convexe ou non
Un quadrilatère est convexe si ses diagonales se coupent à l’intérieur de la figure : tous ses angles sont inférieurs à 180°. Un quadrilatère concave (en forme de pointe de flèche) a un angle rentrant supérieur à 180°. Un quadrilatère croisé a deux côtés qui se coupent ; il n’est pas considéré comme un polygone simple.
Quadrilatères et cercle
Un quadrilatère est inscriptible dans un cercle (ses quatre sommets sont sur un même cercle) si et seulement si ses angles opposés sont supplémentaires (somme 180°). Les rectangles, carrés et trapèzes isocèles sont toujours inscriptibles ; un losange ne l’est que s’il est carré.
Le théorème de Varignon
En reliant les milieux des quatre côtés de n’importe quel quadrilatère, on obtient toujours un parallélogramme, dont l’aire est la moitié de celle du quadrilatère de départ (s’il est convexe). Ce résultat porte le nom de Pierre Varignon, mathématicien français du XVIIe siècle.
Questions fréquentes
Un carré est-il un rectangle ?
Oui. Un rectangle est un quadrilatère à quatre angles droits ; le carré en a quatre. C’est un rectangle particulier dont les côtés sont tous égaux.
Un carré est-il un losange ?
Oui. Un losange a quatre côtés égaux ; le carré aussi. C’est un losange particulier dont les angles sont droits.
Un trapèze est-il un parallélogramme ?
Pas en général : un trapèze n’a qu’une paire de côtés parallèles garantie. En revanche, selon la définition usuelle (au moins deux côtés parallèles), un parallélogramme est un trapèze particulier.
Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère ?
Toujours 360°, quel que soit le quadrilatère convexe ou concave. Voir la somme des angles d’un triangle.