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La règle de trois
La règle de trois permet de trouver une valeur inconnue quand deux grandeurs sont proportionnelles : si 3 kg coûtent 12 €, 5 kg coûtent 12 × 5 / 3 = 20 €. On multiplie en croix, puis on divise.
Mis à jour le 4 min de lecture
Adapter une recette pour plus de convives, convertir une monnaie, calculer une consommation de carburant, une échelle de carte ou un dosage : la règle de trois est l’outil de calcul le plus utilisé au quotidien. Elle tire son nom du fait qu’à partir de trois valeurs connues, on calcule la quatrième.
La méthode en trois étapes
- Vérifier que les deux grandeurs sont proportionnelles (voir proportionnalité) : si l’une double, l’autre double.
- Disposer les valeurs dans un tableau, les grandeurs de même nature dans la même ligne.
- Multiplier en croix les deux valeurs connues situées en diagonale, puis diviser par la troisième.
Pourquoi ça marche : le produit en croix
Deux grandeurs proportionnelles ont des quotients égaux : 4,50 / 3 = x / 5. Or deux fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si a × d = b × c : c’est l'égalité des produits en croix. Ici 3 × x = 4,50 × 5, d’où x = 4,50 × 5 / 3. La règle de trois n’est rien d’autre que la résolution de cette équation.
La méthode du retour à l’unité
On peut aussi passer par la valeur pour une unité : 3 kg coûtent 4,50 €, donc 1 kg coûte 4,50 / 3 = 1,50 €, donc 5 kg coûtent 1,50 × 5 = 7,50 €. C’est la même opération, décomposée. Elle est souvent plus parlante et permet de vérifier le résultat.
Exemples corrigés
Recette de cuisine
Une recette pour 4 personnes demande 250 g de farine. Pour 6 personnes : 250 × 6 / 4 = 375 g.
Consommation de carburant
Une voiture consomme 6,5 litres aux 100 km. Pour un trajet de 340 km : 6,5 × 340 / 100 = 22,1 litres.
Conversion de devises
Si 1 euro vaut 1,08 dollar, alors 250 € valent 250 × 1,08 = 270 $, et 100 $ valent 100 × 1 / 1,08 ≈ 92,59 €.
Échelle d’une carte
Sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m. Une distance de 7,2 cm sur la carte correspond à 7,2 × 250 = 1 800 m sur le terrain. Voir lire une carte.
Pourcentage
Une remise de 15 % sur un article à 80 € : 100 ↔ 15, 80 ↔ x, donc x = 15 × 80 / 100 = 12 € de remise. Inversement, 18 élèves sur 24 représentent 18 × 100 / 24 = 75 %. Voir calcul de pourcentage.
Vitesse
Un train parcourt 210 km en 1 h 30 (90 min). En 40 min, à la même vitesse, il parcourt 210 × 40 / 90 ≈ 93,3 km. Attention à exprimer les durées dans la même unité.
Le piège : les grandeurs non proportionnelles
La règle de trois ne s’applique que si les grandeurs sont proportionnelles. Erreurs fréquentes :
| Situation | Proportionnelle ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| Prix et quantité au même tarif unitaire | oui | le prix au kilo est constant |
| Prix avec frais fixes (taxi, livraison) | non | une part ne dépend pas de la quantité |
| Âge et taille d’un enfant | non | la croissance n’est pas régulière |
| Côté d’un carré et son aire | non | l’aire varie comme le carré du côté |
| Nombre d’ouvriers et durée d’un chantier | non : inversement proportionnelle | plus d’ouvriers, moins de temps |
| Distance et temps à vitesse constante | oui | v = d / t constant |
La règle de trois inverse
Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles (leur produit est constant), on multiplie les deux valeurs connues situées sur la même ligne et on divise par la troisième.
Autres exemples : vitesse et durée pour un trajet fixe, nombre de parts et taille de chaque part, débit d’un robinet et temps de remplissage.
Questions fréquentes
Comment faire une règle de trois ?
On place les valeurs dans un tableau, on multiplie les deux valeurs connues en diagonale et on divise par la troisième. Si 4 cahiers coûtent 10 €, 7 cahiers coûtent 10 × 7 / 4 = 17,50 €.
Pourquoi l’appelle-t-on règle de trois ?
Parce qu’elle part de trois nombres connus pour en calculer un quatrième. On parle aussi de « produit en croix » ou de « quatrième proportionnelle ».
Quelle est la différence entre règle de trois et produit en croix ?
Ce sont deux noms de la même méthode : le produit en croix est le calcul (égalité a × d = b × c) qui justifie la règle de trois.
Quand ne faut-il pas utiliser la règle de trois ?
Quand les grandeurs ne sont pas proportionnelles : présence de frais fixes, aires et volumes, croissances irrégulières, ou grandeurs inversement proportionnelles, qui demandent une règle de trois inverse.