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Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites parallèles ne se coupent jamais ; deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit. Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
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Le parallélisme et la perpendicularité sont les deux relations de base entre droites du plan. Elles organisent les plans d’architecte, les quadrillages, les cartes, et presque toutes les démonstrations de géométrie. Trois propriétés simples, apprises dès le collège, permettent d’enchaîner les déductions.
Définitions et notations
| Position | Points communs | Notation |
|---|---|---|
| Sécantes | 1 | |
| Perpendiculaires | 1 (avec angle droit) | ⊥ |
| Parallèles strictement | 0 | // |
| Confondues | une infinité (toute la droite) | // (cas particulier) |
Dans l'espace, deux droites peuvent n’avoir aucun point commun sans être parallèles : elles sont alors non coplanaires (comme une arête verticale et une arête horizontale non adjacentes d’un cube). Deux droites perpendiculaires sont sécantes ; si elles forment un angle droit sans se couper, on les dit orthogonales.
Les trois propriétés fondamentales
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Ces propriétés reposent sur le postulat d’Euclide : par un point extérieur à une droite passe une et une seule parallèle à cette droite. Ce postulat, impossible à démontrer à partir des autres axiomes, est abandonné dans les géométries non euclidiennes.
Parallèles et angles
Lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles :
- les angles alternes-internes sont égaux ;
- les angles correspondants sont égaux ;
- les angles alternes-externes sont égaux ;
- les angles internes situés du même côté de la sécante sont supplémentaires (somme 180°).
Les réciproques sont vraies : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, elles sont parallèles. C’est un outil puissant pour prouver un parallélisme. Voir les types d’angles.
Tracer une parallèle et une perpendiculaire
Perpendiculaire à (d) passant par A : placer un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d), faire glisser jusqu’à ce que l’autre côté passe par A, tracer.
Parallèle à (d) passant par A : tracer d’abord une perpendiculaire (Δ) à (d) passant par A, puis la perpendiculaire à (Δ) en A. Par la propriété 2, elle est parallèle à (d). On peut aussi faire glisser l’équerre le long d’une règle fixe.
Au compas : la médiatrice d’un segment est une perpendiculaire construite au compas (voir les droites remarquables du triangle).
Distance d’un point à une droite
La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. C’est la plus courte distance entre A et un point de (d). La distance entre deux droites parallèles est constante : c’est la largeur de la « bande » qu’elles délimitent.
En repère : pentes et vecteurs
Dans un repère orthonormé, deux droites d’équations y = mx + p et y = m′x + p′ sont :
| Relation | Condition |
|---|---|
| Parallèles | m = m′ (même coefficient directeur) |
| Perpendiculaires | m × m′ = −1 |
Voir l'équation de droite. Avec les vecteurs, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, perpendiculaires si leur produit scalaire est nul.
Questions fréquentes
Deux droites parallèles peuvent-elles se couper ?
Non dans le plan euclidien : par définition, elles n’ont aucun point commun (sauf si elles sont confondues). Les rails qui semblent se rejoindre à l’horizon sont un effet de perspective.
Quelle est la différence entre perpendiculaire et orthogonal ?
Dans le plan, les deux mots sont synonymes pour des droites. Dans l’espace, « perpendiculaires » impose que les droites se coupent ; « orthogonales » non.
Comment prouver que deux droites sont parallèles ?
Montrer qu’elles sont perpendiculaires à une même droite, ou parallèles à une même droite, ou qu’elles forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux, ou utiliser la réciproque du théorème de Thalès.