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Évariste Galois
Évariste Galois (1811-1832), mathématicien français mort en duel à 20 ans, a fondé la théorie des groupes en expliquant quelles équations peuvent être résolues par radicaux. Ses travaux ne furent compris qu’après sa mort.
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La vie de Galois est l’une des plus romanesques de l’histoire des sciences : deux échecs au concours de Polytechnique, des mémoires perdus ou refusés par l’Académie, la prison pour activisme républicain et une mort en duel à vingt ans. Son œuvre, une soixantaine de pages, a pourtant transformé l’algèbre : elle substitue à la recherche de formules l’étude des symétries des équations.
Repères chronologiques
| Date | Événement |
|---|---|
| 25 octobre 1811 | naissance ; son père, Nicolas-Gabriel Galois, républicain libéral, devient maire de Bourg-la-Reine en 1815 |
| 1823 | entre au collège royal Louis-le-Grand |
| 1827 | découvre les mathématiques avec le professeur Vernier ; lit Legendre et Lagrange |
| 1828 | premier échec à l’École polytechnique |
| 1829 | premier article publié ; mai-juin : mémoire à l’Académie, confié à Cauchy, qui ne le présente pas |
| 2 juillet 1829 | suicide de son père, victime d’une campagne de calomnies |
| juillet-août 1829 | second échec à Polytechnique ; entre à l’École préparatoire |
| 1830 | nouveau mémoire pour le grand prix de l’Académie ; Fourier, chargé de le lire, meurt et le mémoire est perdu |
| 1830-1831 | après la révolution de Juillet, critique le directeur de son école ; il est renvoyé |
| janvier 1831 | troisième mémoire, confié à Poisson et Lacroix |
| juillet 1831 | Poisson le juge incompréhensible et demande des preuves plus complètes |
| 1831-1832 | arrêté deux fois ; condamné à six mois de prison, détenu à Sainte-Pélagie |
| 29 mai 1832 | écrit une lettre-testament scientifique à son ami Auguste Chevalier |
| 30 mai 1832 | blessé par balle au ventre lors d’un duel |
| 31 mai 1832 | mort à l’hôpital Cochin |
| 1846 | Joseph Liouville publie ses travaux |
Le problème des équations
Depuis l’Antiquité, on sait résoudre l’équation du second degré par une formule utilisant des racines carrées. Au XVIe siècle, les Italiens Tartaglia, Cardan et Ferrari trouvent des formules pour les degrés 3 et 4, avec des racines cubiques et quatrièmes. Pendant deux siècles et demi, on cherche une formule pour le degré 5. Lagrange montre en 1770-1771 que le succès des degrés 3 et 4 tient aux permutations des racines. Le Norvégien Niels Henrik Abel démontre en 1824 qu’il n’existe pas de formule générale par radicaux pour le degré 5. Voir les équations.
La théorie de Galois
Galois va plus loin : il donne un critère qui permet de dire, pour chaque équation particulière, si elle est résoluble par radicaux.
- À chaque équation, il associe un groupe : l’ensemble des permutations de ses racines qui conservent toutes les relations algébriques entre elles. C’est le « groupe de Galois » de l’équation.
- L’équation est résoluble par radicaux si et seulement si ce groupe a une structure particulière, qu’on appelle aujourd’hui « résoluble » : il peut être décomposé en une suite de sous-groupes emboîtés aux propriétés simples.
- Pour le degré 5 en général, le groupe est celui de toutes les permutations de cinq objets, qui n’est pas résoluble : d’où l’impossibilité d’une formule générale.
Il introduit aussi les corps finis, ou « corps de Galois », ensembles finis de nombres où l’on peut additionner, multiplier et diviser. Ils sont aujourd’hui au cœur des codes correcteurs d’erreurs (CD, QR codes, communications spatiales) et de la cryptographie.
Le républicain
Galois s’engage avec passion dans l’opposition républicaine à la monarchie de Juillet. Il entre dans la Société des amis du peuple et dans l’artillerie de la Garde nationale, dissoute peu après. Le 9 mai 1831, lors d’un banquet républicain, il porte un toast au roi Louis-Philippe un couteau à la main, ce qui est compris comme une menace ; il est acquitté. Le 14 juillet 1831, il est arrêté portant l’uniforme de l’artillerie dissoute et armé, et condamné à six mois de prison. Voir la Restauration et la monarchie de Juillet.
Le duel
Les circonstances du duel du 30 mai 1832 restent obscures. Les lettres de Galois évoquent une « infâme coquette » et deux « patriotes » qui l’ont provoqué ; on ignore l’identité exacte de son adversaire. Les hypothèses d’un guet-apens policier ou d’un duel arrangé ne sont pas prouvées. La veille, il rédige une longue lettre à Auguste Chevalier qui résume ses découvertes. La légende selon laquelle il aurait inventé toute sa théorie dans la nuit précédant le duel est fausse : ses idées principales datent de 1829-1831.
Postérité
Joseph Liouville publie les travaux de Galois en 1846 dans son Journal de mathématiques pures et appliquées. Camille Jordan les développe dans son Traité des substitutions (1870). La théorie des groupes devient ensuite un langage central des mathématiques et de la physique, de la cristallographie à la physique des particules.
Questions fréquentes
Qu’a découvert Évariste Galois ?
Un critère qui dit si une équation polynomiale peut être résolue par une formule à radicaux, fondé sur un groupe de permutations de ses racines. Il a ainsi fondé la théorie des groupes et la théorie des corps finis.
Comment est mort Évariste Galois ?
D’une balle reçue dans l’abdomen lors d’un duel au pistolet le 30 mai 1832, probablement près de Gentilly, au sud de Paris. Il est mort le lendemain à l’hôpital Cochin, à 20 ans.
Pourquoi les travaux de Galois n’ont-ils pas été compris de son vivant ?
Ses mémoires étaient très concis et nouveaux dans leur méthode ; l’un fut égaré, un autre jugé insuffisamment démontré. Ils ne furent publiés et étudiés qu’en 1846, quatorze ans après sa mort.