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Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien allemand surnommé le « prince des mathématiciens », a transformé la théorie des nombres, les statistiques, la géométrie et la physique mathématique.
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Fils d’un ouvrier de Brunswick, Gauss révèle très tôt un génie du calcul. Il publie peu, et seulement ce qu’il juge parfait, selon sa devise Pauca sed matura (« peu, mais mûr ») ; ses carnets montrent qu’il avait anticipé plusieurs découvertes attribuées à d’autres. Il a laissé son nom à des dizaines de résultats, de la courbe de Gauss au théorème de Gauss en électrostatique.
Repères chronologiques
| Date | Événement |
|---|---|
| 30 avril 1777 | naissance dans une famille modeste |
| 1791 | le duc de Brunswick lui accorde une bourse |
| 1795-1798 | études à l’université de Göttingen |
| 30 mars 1796 | démontre que l’heptadécagone régulier est constructible à la règle et au compas |
| 1799 | thèse à Helmstedt : démonstration du théorème fondamental de l’algèbre |
| 1801 | Disquisitiones arithmeticae ; calcule l’orbite de Cérès |
| 1807 | directeur de l’observatoire de Göttingen |
| 1809 | Theoria motus : méthode des moindres carrés et loi normale |
| 1818-1832 | dirige la triangulation géodésique du royaume de Hanovre ; invente l’héliotrope |
| 1827 | Disquisitiones generales circa superficies curvas : courbure des surfaces |
| 1833 | avec Wilhelm Weber, premier télégraphe électromagnétique opérationnel à Göttingen |
| 1839-1840 | théorie du potentiel et du magnétisme terrestre |
| 23 février 1855 | mort à Göttingen |
L’enfant prodige
Une anecdote célèbre, rapportée par ses biographes, veut qu’à l’école primaire, son maître ait demandé de calculer la somme des entiers de 1 à 100. Gauss aurait aussitôt trouvé 5 050 en associant 1 + 100, 2 + 99, etc., soit 50 paires valant 101. L’histoire est peut-être embellie, mais elle illustre la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique.
Théorie des nombres
À 19 ans, Gauss démontre que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas, première avancée sur la question depuis l’Antiquité. Il établit la condition générale : un polygone régulier à n côtés est constructible si n est une puissance de 2 multipliée par des nombres premiers de Fermat distincts.
Les Disquisitiones arithmeticae (1801) fondent la théorie des nombres moderne :
- les congruences et la notation a ≡ b (mod n), c’est-à-dire l’arithmétique « modulaire » des restes ;
- la première démonstration complète de la loi de réciprocité quadratique, qu’il appelle son « théorème d’or » ;
- la théorie des formes quadratiques.
Adolescent, il conjecture que la proportion de nombres premiers jusqu’à x est voisine de 1/ln x : c’est le théorème des nombres premiers, démontré en 1896.
Algèbre et nombres complexes
Sa thèse de 1799 démontre le théorème fondamental de l’algèbre : tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Il en donnera quatre démonstrations. Il popularise la représentation des nombres complexes comme points d’un plan, et étudie les entiers de Gauss (a + bi, avec a et b entiers).
Statistiques : la courbe en cloche
En janvier 1801, l’astronome Piazzi découvre l’astéroïde Cérès, puis le perd dans l’éclat du Soleil après 41 jours. À 24 ans, Gauss calcule son orbite à partir de quelques observations ; Cérès est retrouvée en décembre 1801 à l’endroit prédit. Pour ce calcul, il emploie la méthode des moindres carrés, publiée en 1809 (Legendre l’avait publiée dès 1805).
Il justifie cette méthode par une loi de répartition des erreurs de mesure : la loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, dont la courbe en cloche est le modèle de base des statistiques. Voir moyenne, médiane et écart type.
Géométrie
- Courbure des surfaces (1827) : son theorema egregium (« théorème remarquable ») montre que la courbure d’une surface peut être mesurée de l’intérieur, sans référence à l’espace extérieur. Conséquence : une sphère ne peut pas être aplatie sans déformation, d’où l’impossibilité d’une carte parfaite de la Terre.
- Géométries non euclidiennes : sa correspondance montre qu’il avait envisagé une géométrie où le postulat des parallèles d'Euclide est faux, mais il ne publia rien. Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) en ont la priorité.
- Il dirige la thèse d’habilitation de Riemann (1854), qui généralise ses idées.
Physique
Avec Wilhelm Weber, Gauss mesure l’intensité du champ magnétique terrestre en unités absolues et organise un réseau mondial d’observation. Le gauss a longtemps été l’unité CGS de champ magnétique (1 tesla = 10 000 gauss). Le théorème de Gauss (flux d’un champ électrique à travers une surface fermée) fait partie des équations de Maxwell. Voir le magnétisme.
Questions fréquentes
Pourquoi Gauss est-il appelé le prince des mathématiciens ?
Pour l’étendue et la profondeur de son œuvre, qui a renouvelé la théorie des nombres, l’algèbre, les statistiques, la géométrie différentielle et la physique mathématique. Le titre latin Princeps mathematicorum figure sur une médaille frappée après sa mort.
Qu’est-ce que la courbe de Gauss ?
C’est la représentation de la loi normale, en forme de cloche symétrique autour de la moyenne. Elle décrit la répartition de nombreuses grandeurs (erreurs de mesure, tailles) et sert de base aux statistiques.
Quelle est l’anecdote de Gauss et de la somme de 1 à 100 ?
Écolier, Gauss aurait calculé instantanément 1 + 2 + … + 100 = 5 050 en formant 50 paires de somme 101. L’anecdote est rapportée par ses biographes, sans certitude sur les détails.