La loi de Hooke

Tirez sur un ressort : il s’allonge et cherche à revenir. Tirez deux fois plus fort : il s’allonge deux fois plus. Cette proportionnalité, énoncée par le savant anglais Robert Hooke en 1678, est l’une des lois les plus utiles de la mécanique. Elle décrit les ressorts, mais aussi, pour de petites déformations, le comportement de presque tous les solides : poutres, câbles, os, cordes d’instruments.

Ce que dit la formule

En valeur, F = k × x. Le signe moins indique que la force s’oppose toujours à la déformation : si l’on étire le ressort, il tire vers l’intérieur ; si on le comprime, il pousse vers l’extérieur.

Plus k est grand, plus le ressort est raide : il faut beaucoup de force pour le déformer.

Hooke et son anagramme

Hooke publie d’abord sa loi en 1676 sous la forme d’une anagramme latine, « ceiiinosssttuv », pour en garantir la priorité sans la dévoiler. Il en donne la solution en 1678 : ut tensio, sic vis, « telle extension, telle force ». La pratique des anagrammes était alors courante entre savants.

Le domaine élastique et ses limites

La loi de Hooke n’est valable que dans le domaine élastique : le ressort reprend exactement sa forme quand on le relâche. Si on l’étire trop, il dépasse sa limite d’élasticité et se déforme de manière permanente : c’est le domaine plastique. Au-delà encore, il casse.

Un ressort à boudin étiré jusqu’à rester déroulé est passé dans le domaine plastique.

Associer des ressorts

Deux ressorts identiques mis bout à bout donnent un ressort deux fois plus souple ; placés côte à côte, deux fois plus raide.

L’énergie stockée

Un ressort déformé stocke de l'énergie potentielle élastique :

Ep = ½ k x²

Elle croît comme le carré de la déformation : comprimer un ressort deux fois plus emmagasine quatre fois plus d’énergie. C’est cette énergie que restituent un arc, une catapulte, un trampoline ou le mécanisme d’une montre mécanique.

Le ressort qui oscille

Une masse m accrochée à un ressort et écartée de sa position d’équilibre oscille autour de celle-ci. Comme la force est proportionnelle à l’écart, le mouvement est une oscillation sinusoïdale, dite harmonique, de période :

T = 2π × √(m / k)

Contrairement au pendule simple, la période dépend de la masse, mais pas de la pesanteur : un système masse-ressort oscille de la même façon sur la Lune. Ce modèle de l'oscillateur harmonique est partout en physique : vibrations des molécules, cordes de guitare, suspensions de voiture, bâtiments soumis aux séismes. Lorsqu’on l’excite à sa fréquence propre, il entre en résonance.

La loi de Hooke pour les matériaux

Pour une barre ou un câble, la loi s’écrit en termes de contrainte (force par unité de surface, en pascals) et de déformation relative (allongement divisé par la longueur initiale) :

contrainte = E × déformation relative

E est le module d’Young, caractéristique du matériau.

Le dynamomètre, instrument de mesure des forces, et la balance à ressort (le peson) reposent directement sur la loi de Hooke : l’allongement du ressort, lu sur une graduation, donne la force.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la loi de Hooke ?

F = k × x en valeur : la force (en N) est égale à la raideur (en N/m) multipliée par l’allongement (en m). Le signe moins de la forme vectorielle indique que la force s’oppose à la déformation.

Qu’est-ce que la raideur d’un ressort ?

C’est la force nécessaire pour l’allonger d’un mètre, exprimée en N/m. En pratique, un ressort de raideur 100 N/m s’allonge de 1 cm sous une force de 1 N.

La loi de Hooke est-elle toujours vraie ?

Non. Elle n’est valable que pour de petites déformations, dans le domaine élastique. Au-delà de la limite d’élasticité, le matériau se déforme définitivement, et certains matériaux, comme le caoutchouc, s’en écartent même aux faibles déformations.

Comment mesurer la raideur d’un ressort ?

On suspend des masses connues, on mesure l’allongement pour chacune et on trace la force en fonction de l’allongement : la pente de la droite obtenue est la raideur.